...реєстрували, але у свідоцтві про народження він записаний батьком?
Звісно, можна. Він же ш ж є батьком дитини. Відповідно до статті 180 Сімейного кодексу України батьки зобов'язані утримувати дитину до досягнення нею повноліття.